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Mécanique du point
2.2. Expression de la vitesse en coordonnées cartésiennes
Lorsque le repère dans lequel le mouvement est étudié est cartésien, la position du point
M s’écrit :
−→
OM = x − → u x + y − → u y + z − → u z
Les vecteurs
− → u x , − → u y , − → u z
sont constants et la dérivée de la position conduit à :
− → v M/R =
d
−→
OM
d t
=
d(x − → u x + y − → u y + z − → u z )
d t
=
d x
d t
− → u x +
d y
d t
− → u y +
d z
d t
− → u z
L’écriture précédente peut être condensée en utilisant les variables surmontées d’un point
pour décrire la dérivation temporelle. On écrit alors la vitesse de la façon suivante :
− → v M/R = ˙ x − → u x + ˙ y − → u y + ˙ z − → u z
2.3. Vitesse en coordonnées polaires ou cylindriques
On appelle coordonnées cylindriques des coordonnées relatives à une base tournante
− → u r , − → u u , − → u z
autour de l’axe z dans le référentiel R. Les coordonnées sont dites cylindriques si elles font intervenir une coordonnée z en dehors du plan (O, x, y) et polaires
dans le cas contraire.
x
y
O
θ
M
ρ
u
→
θ
u
→
θ
u
→
ρ
ρ
u
→
ρ
u
→
z
x
y
θ
ρ
ρ
M
u x
→
u x
→
u z
→
u y
→
u y
→
θ
u
→
θ
u
→
ρ
u
→
(a)
(b)
O
Figure 1.6 • Système de cordonnées cylindriques (a) et polaires (b).
En général, la base
− → u r , − → u u , − → u z
est représentée au point M considéré mais elle peut
tout aussi bien être placée en O.
Si le point M se déplace dans le plan xOy (figure 1.6b), il peut être repéré par ses coordonnées polaires r = OM et la position angulaire u = (
− → u x ,
−→
OM).
Dans la base mobile
− → u r , − → u u , − → u z
, la position du point M est alors définie par le vecteur :
−→
OM = r − → u r