Oscillateurs mécaniques
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tension du ressort est, au signe près, égale à la dérivée de l’énergie potentielle élastique. Graphiquement elle est représentée en touts points par la pente de la tangente
à la courbe E P = f (x). Il y aura donc arrêt définitif lorsque la pente de la tangente à la
courbe E P = f (x) sera égale à la pente des droites E = f (x), F ou −F.
Remarquons enfin, pour conclure cette section, qu’il existe deux différences notables entre
l’oscillateur harmonique à frottement solide et l’oscillateur harmonique à frottement visqueux. Pour un frottement solide la période d’oscillation ne dépend par de la force de
frottement et l’amplitude maximale d’oscillation (positions d’arrêt) décroît linéairement.
8. PORTRAIT DE PHASE D’UN OSCILLATEUR
Le mouvement d’un oscillateur, qu’il soit amorti ou non, est en général décrit de façon
classique en représentant l’évolution de son élongation en fonction du temps. Ce traitement classique utilisé dans les paragraphes précédents est justifié par la nature déterministe du mouvement de l’oscillateur et par le fait que l’équation différentielle du mouvement est linéaire. Nous rappelons à ce titre que l’équation est linéaire car si x(t) est solution
de cette équation, il en va de même pour ax(t) avec a ∈ R.
Le mouvement des oscillateurs que nous avons étudiés précédemment est régi (sauf dans
le cas du frottement solide) par l’équation différentielle suivante
¨ x +
2a
m
˙ x + v
2
0 x = 0
(5.4)
L’oscillateur est amorti si a > 0 et entretenu si a < 0. Ce dernier cas n’est pas fréquent en
mécanique car les frottements fluides imposent a > 0. Toutefois il est possible de réaliser
des oscillations entretenues avec des dispositifs électroniques.
L’équation (5.4) peut se récrire :
d
m
˙ x
2
2
+ m
v
2
0 x
2
2
d x
= −2a˙ x
L’équation ci-dessus n’est rien d’autre que la traduction énergétique de l’équation différentielle du mouvement. En particulier nous voyons que dans le cas d’un oscillateur
harmonique pour lequel a = 0, la quantité
m
˙ x
2
2
+ m
v
2
0 x
2
2
= E
se conserve.
Nous voyons ainsi apparaître que si l’on porte sur un graphe la position de l’oscillateur en
abscisse et en ordonnée sa vitesse, nous obtenons une ellipse qui définit ce que l’on appelle
la trajectoire de phase de l’oscillateur. Le portrait de phase de l’oscillateur représente
l’ensemble des trajectoires de phase réalisées par le même oscillateur à partir de toutes les
conditions initiales réalisables
1 . L’équation ci-dessus est en effet de la forme :
x
2
a 2 +
˙ x
2
b 2 = 1 à condition de poser a =
2E
mv
2
0
et b =
2E
m
.
1. À lire : Le portrait de phase des oscillateurs par H. Gié et J.P. Sarmant, B.U.P. 1992, n ◦ 744, 719-755 et De
l’oscillateur harmonique à Van der Pol par L. Sartre, B.U.P., 1998, n ◦ 804.
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tension du ressort est, au signe près, égale à la dérivée de l’énergie potentielle élastique. Graphiquement elle est représentée en touts points par la pente de la tangente
à la courbe E P = f (x). Il y aura donc arrêt définitif lorsque la pente de la tangente à la
courbe E P = f (x) sera égale à la pente des droites E = f (x), F ou −F.
Remarquons enfin, pour conclure cette section, qu’il existe deux différences notables entre
l’oscillateur harmonique à frottement solide et l’oscillateur harmonique à frottement visqueux. Pour un frottement solide la période d’oscillation ne dépend par de la force de
frottement et l’amplitude maximale d’oscillation (positions d’arrêt) décroît linéairement.
8. PORTRAIT DE PHASE D’UN OSCILLATEUR
Le mouvement d’un oscillateur, qu’il soit amorti ou non, est en général décrit de façon
classique en représentant l’évolution de son élongation en fonction du temps. Ce traitement classique utilisé dans les paragraphes précédents est justifié par la nature déterministe du mouvement de l’oscillateur et par le fait que l’équation différentielle du mouvement est linéaire. Nous rappelons à ce titre que l’équation est linéaire car si x(t) est solution
de cette équation, il en va de même pour ax(t) avec a ∈ R.
Le mouvement des oscillateurs que nous avons étudiés précédemment est régi (sauf dans
le cas du frottement solide) par l’équation différentielle suivante
¨ x +
2a
m
˙ x + v
2
0 x = 0
(5.4)
L’oscillateur est amorti si a > 0 et entretenu si a < 0. Ce dernier cas n’est pas fréquent en
mécanique car les frottements fluides imposent a > 0. Toutefois il est possible de réaliser
des oscillations entretenues avec des dispositifs électroniques.
L’équation (5.4) peut se récrire :
d
m
˙ x
2
2
+ m
v
2
0 x
2
2
d x
= −2a˙ x
L’équation ci-dessus n’est rien d’autre que la traduction énergétique de l’équation différentielle du mouvement. En particulier nous voyons que dans le cas d’un oscillateur
harmonique pour lequel a = 0, la quantité
m
˙ x
2
2
+ m
v
2
0 x
2
2
= E
se conserve.
Nous voyons ainsi apparaître que si l’on porte sur un graphe la position de l’oscillateur en
abscisse et en ordonnée sa vitesse, nous obtenons une ellipse qui définit ce que l’on appelle
la trajectoire de phase de l’oscillateur. Le portrait de phase de l’oscillateur représente
l’ensemble des trajectoires de phase réalisées par le même oscillateur à partir de toutes les
conditions initiales réalisables
1 . L’équation ci-dessus est en effet de la forme :
x
2
a 2 +
˙ x
2
b 2 = 1 à condition de poser a =
2E
mv
2
0
et b =
2E
m
.
1. À lire : Le portrait de phase des oscillateurs par H. Gié et J.P. Sarmant, B.U.P. 1992, n ◦ 744, 719-755 et De
l’oscillateur harmonique à Van der Pol par L. Sartre, B.U.P., 1998, n ◦ 804.