Oscillateurs mécaniques
135
0
2
4
6
8
1 0
-6
-4
-2
0
2
4
6
x(t)=5e
-αt/2m (cosω t+(α /2m)sinωt)
x (t)
t (s)
Figure 5.10 • Mouvement d’un oscillateur amorti par frottement fluide dans
le cas d’un amortissement faible. L’amplitude des oscillations décroît de façon
exponentielle (traits pointillés).
Encart 5.1. Décrément logarithmique et amortissement
La détermination du coefficient de viscosité a peut se faire expérimentalement à partir
de la courbe x(t) en utilisant le décrément logarithmique d. Cette quantité est obtenue
en considérant le logarithme du rapport des amplitudes des oscillations au bout des
temps nT et (n − 1)T. À ces instants nous avons :
x (nT) = X max e
−
a
2m
nT cos (vnT) = X max e
−
a
2m
nT
et :
x ((n − 1) T) = X max e
−
a
2m
(n−1)T cos (v (n − 1) T) = X max e
−
a
2m
(n−1)T
Le décrément logarithmique qui est le logarithme du rapport des amplitudes est
donné par :
d = ln
x (nT)
x ((n − 1) T)
=
a
2m
T
Cette quantité est facilement accessible par l’expérience et permet de déterminer rapidement a. Une méthode plus précise consiste à tracer le logarithme de l’amplitude
ln x(nT) en fonction de nT. On obtient alors une droite de pente −a/2m.
5.3. L’oscillateur critique
Le régime de l’oscillateur est dit critique lorsque le discriminant de l’équation caractéristique est nul. Dans ce cas le mouvement de l’oscillateur obéit à une équation horaire du
type :
x = (At + B)e
−
a
2m
t
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1 0
-6
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0
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x(t)=5e
-αt/2m (cosω t+(α /2m)sinωt)
x (t)
t (s)
Figure 5.10 • Mouvement d’un oscillateur amorti par frottement fluide dans
le cas d’un amortissement faible. L’amplitude des oscillations décroît de façon
exponentielle (traits pointillés).
Encart 5.1. Décrément logarithmique et amortissement
La détermination du coefficient de viscosité a peut se faire expérimentalement à partir
de la courbe x(t) en utilisant le décrément logarithmique d. Cette quantité est obtenue
en considérant le logarithme du rapport des amplitudes des oscillations au bout des
temps nT et (n − 1)T. À ces instants nous avons :
x (nT) = X max e
−
a
2m
nT cos (vnT) = X max e
−
a
2m
nT
et :
x ((n − 1) T) = X max e
−
a
2m
(n−1)T cos (v (n − 1) T) = X max e
−
a
2m
(n−1)T
Le décrément logarithmique qui est le logarithme du rapport des amplitudes est
donné par :
d = ln
x (nT)
x ((n − 1) T)
=
a
2m
T
Cette quantité est facilement accessible par l’expérience et permet de déterminer rapidement a. Une méthode plus précise consiste à tracer le logarithme de l’amplitude
ln x(nT) en fonction de nT. On obtient alors une droite de pente −a/2m.
5.3. L’oscillateur critique
Le régime de l’oscillateur est dit critique lorsque le discriminant de l’équation caractéristique est nul. Dans ce cas le mouvement de l’oscillateur obéit à une équation horaire du
type :
x = (At + B)e
−
a
2m
t