Travail, puissance, énergie
105
Dans le cas où l’énergie potentielle ne dépend que d’une variable x, cela revient à dire
que :
− →
F = −
d E P
d x
− → u x
La condition d’équilibre se traduisant par
− →
F = 0 peut donc s’écrire aussi
d E P
d x
= 0
Une position d’équilibre se traduit donc par un extremum de la fonction énergie potentielle.
Un équilibre est dit stable si, à la suite d’une perturbation qui a éloigné le système de
cette position, celui-ci y retourne spontanément. Dans le cas contraire l’équilibre est dit
instable.
b) Conditions de stabilité
Reprenons le cas où l’énergie potentielle ne dépend que d’une variable x et supposons que
pour x 0 la dérivée de cette fonction est nulle. Pour une perturbation amenant le système à
x < x 0 , la valeur algébrique de la force doit être positive pour ramener le système vers x 0
soit
d EP
d x
(x) < 0. Dans le cas contraire x > x 0 , la force doit être négative et donc
d EP
d x
(x) > 0
(voir l’exemple de la masse accrochée à un ressort de la figure 4.8). La fonction E P décroît
avant x 0 et est croissante après x 0 . Elle présente donc un minimum pour x = x 0 .
T
→
x
x
O
x
T
T
u x
→
→ =
x x>x 0 =0
Position d’équilibre : x 0 =0
u x
→
Figure 4.8 • En dehors de la position d’équilibre x 0 = 0, la valeur algébrique
T de la tension est positive pour x < x 0 et négative pour x > x0. La force de
tension d’un ressort est une force de rappel.
Dans ce cas, la fonction
d EP
d x
(x) est une fonction croissante qui s’annule pour x = x 0 . La
condition de stabilité, c’est-à-dire E p minimale, peut donc se traduire par
d
2 EP
d x 2 (x) > 0 au
voisinage de x 0 et donc pour x = x 0 . Dans le cas contraire, la position sera une position
d’équilibre instable. Nous concluons donc sur le schéma suivant.