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Mécanique du point
b) Énergie potentielle
Nous nous plaçons ici purement dans le cadre de la mécanique. Pour cette raison, nous
appréhendons l’énergie potentielle de façon simple et moins ambitieuse que ce que nous
pourrions faire dans le cadre plus général de la thermodynamique
1 .
Par définition, le travail des forces conservatives ne dépend pas du chemin suivi mais
uniquement de l’état initial et final. Le travail de ces forces peut donc s’exprimer à partir
d’une fonction d’état appelée énergie potentielle E p . Pour des raisons qui apparaîtront
clairement au paragraphe 4.3., nous conviendrons que la variation d’énergie potentielle
est représentée par l’opposé du travail des forces conservatives soit :
E P (B) − E P (A) = −W A→B
− →
F
C
ext
ce qui peut encore s’écrire :
DE P = −W A→B
− →
F
C
ext
Cette relation conduit, en explicitant le travail, à la définition intégrale de l’énergie potentielle :
E P (B) − E P (A) = −
B
A
− →
F
C
ext . d
− →
l
(4.5)
De l’expression intégrale (4.5), il est possible de déduire la définition différentielle de l’énergie potentielle en faisant apparaître le travail élémentaire de la force conservative soit :
d E P = −
− →
F
C
ext . d
− →
l
Finalement la différentielle de l’énergie potentielle peut s’exprimer en fonction du gradient de E P (annexe 1, 7.) :
d E P =
− − →
grad E P . d
− →
l
On aboutit à la définition locale de l’énergie potentielle :
− − →
grad E P = −
− →
F
C
ext
(4.6)
Alors que les deux autres définitions présentent des appellations évidentes, il est certainement utile de commenter la terminologie de cette dernière définition. Le terme local
signifie que l’équation (4.6) est valide en un point particulier de l’espace et que d’un point
à un autre de l’espace le résultat de l’opérateur gradient appliqué à la fonction scalaire
énergie potentielle peut être variable.
Les trois formes précédentes sont équivalentes entre elles comme l’indique la figure récapitulative 4.6.
1. À lire à ce sujet : Le principe de conservation de l’énergie et le théorème de l’énergie mécanique par E. Saltiel, B.U.P.,
1997, n ◦ 794, 957-972.
Mécanique du point
b) Énergie potentielle
Nous nous plaçons ici purement dans le cadre de la mécanique. Pour cette raison, nous
appréhendons l’énergie potentielle de façon simple et moins ambitieuse que ce que nous
pourrions faire dans le cadre plus général de la thermodynamique
1 .
Par définition, le travail des forces conservatives ne dépend pas du chemin suivi mais
uniquement de l’état initial et final. Le travail de ces forces peut donc s’exprimer à partir
d’une fonction d’état appelée énergie potentielle E p . Pour des raisons qui apparaîtront
clairement au paragraphe 4.3., nous conviendrons que la variation d’énergie potentielle
est représentée par l’opposé du travail des forces conservatives soit :
E P (B) − E P (A) = −W A→B
− →
F
C
ext
ce qui peut encore s’écrire :
DE P = −W A→B
− →
F
C
ext
Cette relation conduit, en explicitant le travail, à la définition intégrale de l’énergie potentielle :
E P (B) − E P (A) = −
B
A
− →
F
C
ext . d
− →
l
(4.5)
De l’expression intégrale (4.5), il est possible de déduire la définition différentielle de l’énergie potentielle en faisant apparaître le travail élémentaire de la force conservative soit :
d E P = −
− →
F
C
ext . d
− →
l
Finalement la différentielle de l’énergie potentielle peut s’exprimer en fonction du gradient de E P (annexe 1, 7.) :
d E P =
− − →
grad E P . d
− →
l
On aboutit à la définition locale de l’énergie potentielle :
− − →
grad E P = −
− →
F
C
ext
(4.6)
Alors que les deux autres définitions présentent des appellations évidentes, il est certainement utile de commenter la terminologie de cette dernière définition. Le terme local
signifie que l’équation (4.6) est valide en un point particulier de l’espace et que d’un point
à un autre de l’espace le résultat de l’opérateur gradient appliqué à la fonction scalaire
énergie potentielle peut être variable.
Les trois formes précédentes sont équivalentes entre elles comme l’indique la figure récapitulative 4.6.
1. À lire à ce sujet : Le principe de conservation de l’énergie et le théorème de l’énergie mécanique par E. Saltiel, B.U.P.,
1997, n ◦ 794, 957-972.