Philippe GROS L'espace dans les modèles de dynamique des populations
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* Appliquées à l'étude des peuplements naturels, les réflexions qui viennent d'être résumées mettent
en évidence la nécessité d'identifier quels sont les processus "locaux" (i.e., intervenant à petite
échelle) qui possèdent un effet structurant à grande échelle. S.A. Levin et al. 19 , en se référant à
plusieurs domaines de recherche (spécialement à l'écologie et à l'épidémiologie), expriment à ce sujet
l'opinion suivante : "How spatially aggregated and parsimonious a model can provide useful results
in a given context ? [...] Key challenges involve ways to describe the dynamics of systems that are
aggregates of heterogeneous units, representing the behavior of the means and lowest moments in
closed form. Spatial heterogeneity and spatial localization of interactions introduce qualitatively new
dynamics, and they present theoretical and computational issues that are similar across a range of
biological levels". Selon ce point de vue, l'élaboration de modèles spatialisés a pour objectif de
restituer la dynamique collective de groupes hétérogènes et hiérarchisés d'individus, avec la
motivation de comprendre comment émerge à une échelle donnée la "signature" de phénomènes qui
se produisent à d'autres échelles 20 .
1. Le modèle à temps et espace continus, structuré en âge.
Généralités - Définitions.
• Considérons le modèle structuré en âge habituellement attribué à Von Foerster ; on rappelle que
l'évolution temporelle de la densité η(a, t) est décrite par l'EDP parabolique et la condition au bord :
∂ η
∂ η
µ
η
η
β α η α
α
t
a
A
a
a
a
a
d
t
t
t
t
;
t
t
t
( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
+
= −
= ∫
0
; t ≥ 0
où a ∈ A désigne l'âge, et où µ(a, t) et β(a, t) sont respectivement les taux instantanés de mortalité et de
fécondité individuelles des individus d'âge a [le plus souvent, β(a, t) > 0 pour les femelles d'âge a
supérieur à l'âge d'acquisition de la maturité sexuelle, et pour t appartenant à un intervalle de temps
correspondant à la saison de reproduction ; β(a, t) = 0 sinon].
Pour des conditions initiales données η(a, 0), et pour tout a ∈ A :
η
η
µ
τ
τ
η
µ
τ
τ
t
t
si a > t
t
t
si a
t
donné par les conditions initiales
donné par les conditions aux limites
( , )
(
, ) exp [
(
, ) ]
( ,
) exp [
(
, ) ]
a
a t
a t
d
a
a t
d
t
t a
t
=
−
− ∫
− +
−
− ∫
− +
≤
−
0
0
0
1 2
4 3
4
1 2
4 3
4
pour approcher la probabilité d'extinction d'un système en fonction de différents facteurs [e.g., la taille du réseau
et l'intensité des couplages [cf. M.P. Hassell, H.N. Comins & R.M. May, 1991, Nature, Lond. 353(6341) : 255258 ; H.N. Comins, M.P. Hassell & R.M. May, 1992, J. Anim. Ecol. 61 : 735-748].
19 : S.A. Levin, B. Grenfell, A. Hastings & A.S. Perelson, Science, Wash. 275(5298) : 334-343 (1997).
20 : cette idée est développée par R. Law & U. Dieckmann (chap. 14 pp. 252-270), B.M. Bolker et al.
(chap. 20 pp. 388-411), et par U. Dieckmann & R. Law (chap. 21 pp. 412-455) dans l’ouvrage collectif
édité par U. Dieckmann, R. Law & J.A.J. Metz, The Geometry of Ecological Interactions. Symplifying
spatial complexity, Cambridge University Press, 564 p. (2000).
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* Appliquées à l'étude des peuplements naturels, les réflexions qui viennent d'être résumées mettent
en évidence la nécessité d'identifier quels sont les processus "locaux" (i.e., intervenant à petite
échelle) qui possèdent un effet structurant à grande échelle. S.A. Levin et al. 19 , en se référant à
plusieurs domaines de recherche (spécialement à l'écologie et à l'épidémiologie), expriment à ce sujet
l'opinion suivante : "How spatially aggregated and parsimonious a model can provide useful results
in a given context ? [...] Key challenges involve ways to describe the dynamics of systems that are
aggregates of heterogeneous units, representing the behavior of the means and lowest moments in
closed form. Spatial heterogeneity and spatial localization of interactions introduce qualitatively new
dynamics, and they present theoretical and computational issues that are similar across a range of
biological levels". Selon ce point de vue, l'élaboration de modèles spatialisés a pour objectif de
restituer la dynamique collective de groupes hétérogènes et hiérarchisés d'individus, avec la
motivation de comprendre comment émerge à une échelle donnée la "signature" de phénomènes qui
se produisent à d'autres échelles 20 .
1. Le modèle à temps et espace continus, structuré en âge.
Généralités - Définitions.
• Considérons le modèle structuré en âge habituellement attribué à Von Foerster ; on rappelle que
l'évolution temporelle de la densité η(a, t) est décrite par l'EDP parabolique et la condition au bord :
∂ η
∂ η
µ
η
η
β α η α
α
t
a
A
a
a
a
a
d
t
t
t
t
;
t
t
t
( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
+
= −
= ∫
0
; t ≥ 0
où a ∈ A désigne l'âge, et où µ(a, t) et β(a, t) sont respectivement les taux instantanés de mortalité et de
fécondité individuelles des individus d'âge a [le plus souvent, β(a, t) > 0 pour les femelles d'âge a
supérieur à l'âge d'acquisition de la maturité sexuelle, et pour t appartenant à un intervalle de temps
correspondant à la saison de reproduction ; β(a, t) = 0 sinon].
Pour des conditions initiales données η(a, 0), et pour tout a ∈ A :
η
η
µ
τ
τ
η
µ
τ
τ
t
t
si a > t
t
t
si a
t
donné par les conditions initiales
donné par les conditions aux limites
( , )
(
, ) exp [
(
, ) ]
( ,
) exp [
(
, ) ]
a
a t
a t
d
a
a t
d
t
t a
t
=
−
− ∫
− +
−
− ∫
− +
≤
−
0
0
0
1 2
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1 2
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pour approcher la probabilité d'extinction d'un système en fonction de différents facteurs [e.g., la taille du réseau
et l'intensité des couplages [cf. M.P. Hassell, H.N. Comins & R.M. May, 1991, Nature, Lond. 353(6341) : 255258 ; H.N. Comins, M.P. Hassell & R.M. May, 1992, J. Anim. Ecol. 61 : 735-748].
19 : S.A. Levin, B. Grenfell, A. Hastings & A.S. Perelson, Science, Wash. 275(5298) : 334-343 (1997).
20 : cette idée est développée par R. Law & U. Dieckmann (chap. 14 pp. 252-270), B.M. Bolker et al.
(chap. 20 pp. 388-411), et par U. Dieckmann & R. Law (chap. 21 pp. 412-455) dans l’ouvrage collectif
édité par U. Dieckmann, R. Law & J.A.J. Metz, The Geometry of Ecological Interactions. Symplifying
spatial complexity, Cambridge University Press, 564 p. (2000).