Philippe GROS L'espace dans les modèles de dynamique des populations
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Soit N(t) l'effectif total de la population, i.e., N t
d
A
( )
( , )
t
= ∫ η α
α ; son évolution obéit à :
{
}
N t
d d
d
d
d
a t
t
solution transitoire
t
A
t
terme do ant après extinction du transitoire
( )
( , ) exp [
(
, ) ]
[
( , ~ ) ( , ~ ) ] exp [
( ~ , ) ] ~
~
min
= ∫
− ∫
+
+ ∫
∫
− ∫
− +
> η α
µ α τ τ τ α
β α τ η α τ α
µ τ τ τ τ
τ
τ
0
0
0
1
2
4444444
3
4444444
1
2
44444444444 4
3
444444444444
et par différentiation : dN(t) dt
t
t
t
= ∫
−
A
d
[ ( , )
( , ) ] ( , )
β α
µ α
η α
α
• Spatialisation du modèle : méthode intégrale fondée sur le "noyau de transition".
Le modèle qui précède est quelquefois dit "0-D", i.e., il n'est pas "spatialisé" : la densité η décrit l'état
instantané moyen de tous les groupes d'âge d'une population supposée uniformément distribuée dans son
aire de répartition. Pour tenter de restituer les hétérogénéités (e.g., des distributions agrégatives variables
suivant les groupes d'âge), ainsi que la dynamique des déplacement générateurs de ces structures
spatiales (e.g., mouvements locaux, migrations, ...), on définit une fonction de densité, notée χ(x, a, t) ;
cette densité dépend d'une variable d'espace x, ou bien x = (x, y), ou encore x = (x, y, z), selon que l'on
élabore un modèle uni-, bi- ou bien tridimensionnel ; par la suite, on va supposer x ∈ D, où D représente
l'aire de répartition de la population (on conviendra en général que D ⊂ IR
2 , mais par souci de
simplicité on se réfèrera souvent au cas unidimensionnel, i.e., D ⊂ IR ). Avec ces notations, la quantité
χ(x, a, t) dx da est le nombre d'individus d'âge a ∈ A "contenus" dans le volume infinitésimal dxda (la
surface si D ⊂ IR ) au point (x, a, t). Les variations temporelles de la structure démographique sont
décrites par :
∂ χ
∂ χ
µ
χ
ξ
χ ξ
ξ
t
a
vieillissement
D
immigration en
T
d
a t
a t
a t
a t
+
a t
a t
cadavres d'age a par unité de
temps et par unité de surface
provenant de D
( , , )
( , , )
( , , ) ( , , )
( , ; , ) ( , , )
[
$
x
x
x
x
x
x
+
= −
∫
−
1 2
4 4
3
4 4
1
2
444
3
444
1
2
4444 4
3
44444
a t
a t
é
vers D à
∫ D
migration
partir de
T
d
( , ; , ) ] ( , , )
ξ
ξ χ
x
x
x
1
2
44444
3
44444
La différence essentielle avec le modèle non spatialisé réside dans l'introduction du "noyau de
transition" T(., .), encore appelé "noyau de dispersion" (dispersal kernel), "de convolution", ou
"de redistribution" ; la clé de l'interprétation des deux derniers termes du membre de droite est la
suivante 21 : soit x 1 ∈ D, x 2 ∈ D, alors le produit T(x 1 , x 2 ; a, t) χ(x 2 , a, t) dx 2 représente le nombre
d'individus d'âge a qui passent de x 2 à x 1 par unité de temps et par unité de surface (pour D ⊂ IR
2 ).
Le noyau de transition lui-même ne modifie pas le nombre des individus d'âge a de la
population, et vérifie donc la contrainte ∫
=
D T
d
a t
( , ; , )
x ξ
ξ
1 pour tout x ∈ D.
21 : le chapitre 9 (pp. 270-289) de l'ouvrage de Gurney & Nisbet offre une très didactique présentation
formelle de ces concepts en espace et temps discrets (W.S.C. Gurney & R.M. Nisbet, 1998, Ecological
Dynamics, Oxford University Press, 335 p.).
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Soit N(t) l'effectif total de la population, i.e., N t
d
A
( )
( , )
t
= ∫ η α
α ; son évolution obéit à :
{
}
N t
d d
d
d
d
a t
t
solution transitoire
t
A
t
terme do ant après extinction du transitoire
( )
( , ) exp [
(
, ) ]
[
( , ~ ) ( , ~ ) ] exp [
( ~ , ) ] ~
~
min
= ∫
− ∫
+
+ ∫
∫
− ∫
− +
> η α
µ α τ τ τ α
β α τ η α τ α
µ τ τ τ τ
τ
τ
0
0
0
1
2
4444444
3
4444444
1
2
44444444444 4
3
444444444444
et par différentiation : dN(t) dt
t
t
t
= ∫
−
A
d
[ ( , )
( , ) ] ( , )
β α
µ α
η α
α
• Spatialisation du modèle : méthode intégrale fondée sur le "noyau de transition".
Le modèle qui précède est quelquefois dit "0-D", i.e., il n'est pas "spatialisé" : la densité η décrit l'état
instantané moyen de tous les groupes d'âge d'une population supposée uniformément distribuée dans son
aire de répartition. Pour tenter de restituer les hétérogénéités (e.g., des distributions agrégatives variables
suivant les groupes d'âge), ainsi que la dynamique des déplacement générateurs de ces structures
spatiales (e.g., mouvements locaux, migrations, ...), on définit une fonction de densité, notée χ(x, a, t) ;
cette densité dépend d'une variable d'espace x, ou bien x = (x, y), ou encore x = (x, y, z), selon que l'on
élabore un modèle uni-, bi- ou bien tridimensionnel ; par la suite, on va supposer x ∈ D, où D représente
l'aire de répartition de la population (on conviendra en général que D ⊂ IR
2 , mais par souci de
simplicité on se réfèrera souvent au cas unidimensionnel, i.e., D ⊂ IR ). Avec ces notations, la quantité
χ(x, a, t) dx da est le nombre d'individus d'âge a ∈ A "contenus" dans le volume infinitésimal dxda (la
surface si D ⊂ IR ) au point (x, a, t). Les variations temporelles de la structure démographique sont
décrites par :
∂ χ
∂ χ
µ
χ
ξ
χ ξ
ξ
t
a
vieillissement
D
immigration en
T
d
a t
a t
a t
a t
+
a t
a t
cadavres d'age a par unité de
temps et par unité de surface
provenant de D
( , , )
( , , )
( , , ) ( , , )
( , ; , ) ( , , )
[
$
x
x
x
x
x
x
+
= −
∫
−
1 2
4 4
3
4 4
1
2
444
3
444
1
2
4444 4
3
44444
a t
a t
é
vers D à
∫ D
migration
partir de
T
d
( , ; , ) ] ( , , )
ξ
ξ χ
x
x
x
1
2
44444
3
44444
La différence essentielle avec le modèle non spatialisé réside dans l'introduction du "noyau de
transition" T(., .), encore appelé "noyau de dispersion" (dispersal kernel), "de convolution", ou
"de redistribution" ; la clé de l'interprétation des deux derniers termes du membre de droite est la
suivante 21 : soit x 1 ∈ D, x 2 ∈ D, alors le produit T(x 1 , x 2 ; a, t) χ(x 2 , a, t) dx 2 représente le nombre
d'individus d'âge a qui passent de x 2 à x 1 par unité de temps et par unité de surface (pour D ⊂ IR
2 ).
Le noyau de transition lui-même ne modifie pas le nombre des individus d'âge a de la
population, et vérifie donc la contrainte ∫
=
D T
d
a t
( , ; , )
x ξ
ξ
1 pour tout x ∈ D.
21 : le chapitre 9 (pp. 270-289) de l'ouvrage de Gurney & Nisbet offre une très didactique présentation
formelle de ces concepts en espace et temps discrets (W.S.C. Gurney & R.M. Nisbet, 1998, Ecological
Dynamics, Oxford University Press, 335 p.).