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La résolution de cette équation admet pour solution λ1, λ2, … λp
Cette technique ne change pas la variance mais supprime tous les éléments de covariance ; cette
opération n’est donc que la recherche des axes de symétrie de l'ellipsoïde d'inertie et des n valeurs
propres correspondantes. La valeur propre d'un axe représente le pourcentage d'inertie
correspondant à une certaine quantité d'information formée par cet axe.
Le taux d'inertie correspond au pourcentage de chaque valeur propre par rapport à l'inertie totale du
nuage : le facteur est d'autant plus intéressant que la valeur propre qui lui correspond est élevée,
c’est à dire que le pourcentage d'inertie est grand (en mécanique, l’inertie d’un point pesant M de
masse m par rapport à un point O est égale à m * OM
2
. Cette définition est identique à celle de la
variance élémentaire, si on remplace la masse m par la fréquence et la distance OM par l’écart : il y
a donc identité absolue au sens mathématique entre moyenne et centre de gravité).
Connaissant ces valeurs, les coefficients directeurs ou vecteurs propres sont obtenus après
résolution des systèmes d’équation linéaire. Pour chaque λi on associe un vecteur colonne dont les
scalaires représentent les coefficients des différentes variables sur l’axe considéré ; ces vecteurs
propres permettent de retrouver les coordonnées des individus sur les nouveaux axes.
L'extraction des composantes principales revient à réaliser une rotation de maximisation de la
variance (varimax) de l'espace original de la variable. L’interprétation des résultats d’une ACP fait
l’objet d’un exposé complet réalisé par Philippeau (1986).
2.1.1.2. La classification hiérarchique
Le principe de la méthode est extrait du module ‘Conseiller’ de Statistica (StatSoft.,Inc., 1997). Le
terme Classifications (utilisé pour la première fois en 1939) regroupe en fait plusieurs algorithmes
différents de classifications. Une question majeure que se posent de nombreux chercheurs dans
divers domaines d'étude est de savoir comment organiser des données observées dans des structures
(groupes) explicites, ce qui implique le développement de taxonomies.
La Classification Ascendante Hiérarchique (CAH) utilise les dissemblances ou distances entre
objets lors de la formation des classes. Ces distances peuvent être basées sur une dimension simple
ou multiple. La méthode la plus directe pour calculer des distances entre objets dans un espace
multidimensionnel consiste à calculer les distances Euclidiennes (le type de distance le plus
couramment utilisé ; il s'agit simplement d'une distance géométrique dans un espace
multidimensionnel). Si nous avons un espace à deux ou trois dimensions, cette mesure est celle des
distances géométriques normales entre les objets dans l'espace (c'est-à-dire comme si elle était
mesurée à l'aide d'une règle). L'algorithme de la CAH ne tient pas compte de la nature des distances
qui lui sont indiquées ; peu importe donc qu'il s'agisse de réelles distances, ou d'autres mesures
dérivées qui peuvent être plus explicites pour un chercheur.
La résolution de cette équation admet pour solution λ1, λ2, … λp
Cette technique ne change pas la variance mais supprime tous les éléments de covariance ; cette
opération n’est donc que la recherche des axes de symétrie de l'ellipsoïde d'inertie et des n valeurs
propres correspondantes. La valeur propre d'un axe représente le pourcentage d'inertie
correspondant à une certaine quantité d'information formée par cet axe.
Le taux d'inertie correspond au pourcentage de chaque valeur propre par rapport à l'inertie totale du
nuage : le facteur est d'autant plus intéressant que la valeur propre qui lui correspond est élevée,
c’est à dire que le pourcentage d'inertie est grand (en mécanique, l’inertie d’un point pesant M de
masse m par rapport à un point O est égale à m * OM
2
. Cette définition est identique à celle de la
variance élémentaire, si on remplace la masse m par la fréquence et la distance OM par l’écart : il y
a donc identité absolue au sens mathématique entre moyenne et centre de gravité).
Connaissant ces valeurs, les coefficients directeurs ou vecteurs propres sont obtenus après
résolution des systèmes d’équation linéaire. Pour chaque λi on associe un vecteur colonne dont les
scalaires représentent les coefficients des différentes variables sur l’axe considéré ; ces vecteurs
propres permettent de retrouver les coordonnées des individus sur les nouveaux axes.
L'extraction des composantes principales revient à réaliser une rotation de maximisation de la
variance (varimax) de l'espace original de la variable. L’interprétation des résultats d’une ACP fait
l’objet d’un exposé complet réalisé par Philippeau (1986).
2.1.1.2. La classification hiérarchique
Le principe de la méthode est extrait du module ‘Conseiller’ de Statistica (StatSoft.,Inc., 1997). Le
terme Classifications (utilisé pour la première fois en 1939) regroupe en fait plusieurs algorithmes
différents de classifications. Une question majeure que se posent de nombreux chercheurs dans
divers domaines d'étude est de savoir comment organiser des données observées dans des structures
(groupes) explicites, ce qui implique le développement de taxonomies.
La Classification Ascendante Hiérarchique (CAH) utilise les dissemblances ou distances entre
objets lors de la formation des classes. Ces distances peuvent être basées sur une dimension simple
ou multiple. La méthode la plus directe pour calculer des distances entre objets dans un espace
multidimensionnel consiste à calculer les distances Euclidiennes (le type de distance le plus
couramment utilisé ; il s'agit simplement d'une distance géométrique dans un espace
multidimensionnel). Si nous avons un espace à deux ou trois dimensions, cette mesure est celle des
distances géométriques normales entre les objets dans l'espace (c'est-à-dire comme si elle était
mesurée à l'aide d'une règle). L'algorithme de la CAH ne tient pas compte de la nature des distances
qui lui sont indiquées ; peu importe donc qu'il s'agisse de réelles distances, ou d'autres mesures
dérivées qui peuvent être plus explicites pour un chercheur.