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CHAPITRE 3: MÉTHODOLOGIE
1. MODÉLISATION
1.1. DÉFINITION
Notre objectif est de donner un bref aperçu à la fois théorique et pratique du domaine des
mathématiques appliquées qui a connu un essor très important dans les dernières décennies, et
qui est directement orienté vers la modélisation et la maîtrise de systèmes complexes,
mécaniques, physiques, chimiques, industriels ou économiques.
Le but du jeu est de pouvoir décrire, comprendre, puis si possible simuler, optimiser et
contrôler un système ou un phénomène complexe. Citons par exemple des phénomènes
physiques : l'écoulement d'un fluide, la déformation d'un solide, une réaction nucléaire ou
chimique. Le travail de la modélisation commence donc avec la modélisation physique : il
s'agit d'écrire un modèle mathématique décrivant le phénomène considéré. Ce modèle est
souvent constitué d'équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles (par
exemple, les équations de Navier-Stokes, celles de la neutronique, de la visco-élasticité ou
des plasmas, ou dans un cadre différent
Cette activité de modélisation physique est principalement du ressort des mécaniciens,
physiciens, chimistes, ...
Cependant, le mathématicien ou l'ingénieur qui considèrent un modèle mathématique
décrivant un phénomène physique ne peuvent pas faire l'économie d'une connaissance
détaillée de la démarche de modélisation physique qui a conduit à ce modèle. Savoir comment
et sous quelles hypothèses est obtenu le modèle, connaître le domaine de validité de ces
hypothèses, comprendre les comportements physiques qui sont attendus sur la base de
raisonnements intuitifs ou formalisés : toutes ces connaissances sont très utiles, voire
indispensables, pour aborder l'étude mathématique et la résolution numérique du modèle.
Les étapes suivantes de la modélisation concernent en premier chef le "mathématicien
appliqué". Il faut d'abord construire un cadre théorique pour pouvoir analyser du point de vue
mathématique les modèles issus de l'étape précédente ; on s'intéresse alors à l'existence et à
l'unicité ou la multiplicité des solutions, à leur stabilité et à d'autres propriétés qualitatives de
ces solutions. C'est à cette étape de modélisation mathématique que se rattachent les parties
les plus théoriques de ce cours, qui font notamment appel aux techniques de l’analyse.
Mais l'objet de la modélisation n'est pas seulement de donner cette compréhension théorique
du comportement des solutions des modèles mathématiques considérés. Ces études
mathématiques servent également à construire les bases de la résolution numérique de ces
modèles. Nous verrons que la modélisation débouche alors sur la construction et l'analyse de
méthodes et d'algorithmes pratiques, qui permettent de réaliser sur ordinateur des simulations
numériques des phénomènes étudiés, ou d'implémenter sur ordinateur des procédures de
contrôle (de contrôle "en temps réel" en particulier).
CHAPITRE 3: MÉTHODOLOGIE
1. MODÉLISATION
1.1. DÉFINITION
Notre objectif est de donner un bref aperçu à la fois théorique et pratique du domaine des
mathématiques appliquées qui a connu un essor très important dans les dernières décennies, et
qui est directement orienté vers la modélisation et la maîtrise de systèmes complexes,
mécaniques, physiques, chimiques, industriels ou économiques.
Le but du jeu est de pouvoir décrire, comprendre, puis si possible simuler, optimiser et
contrôler un système ou un phénomène complexe. Citons par exemple des phénomènes
physiques : l'écoulement d'un fluide, la déformation d'un solide, une réaction nucléaire ou
chimique. Le travail de la modélisation commence donc avec la modélisation physique : il
s'agit d'écrire un modèle mathématique décrivant le phénomène considéré. Ce modèle est
souvent constitué d'équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles (par
exemple, les équations de Navier-Stokes, celles de la neutronique, de la visco-élasticité ou
des plasmas, ou dans un cadre différent
Cette activité de modélisation physique est principalement du ressort des mécaniciens,
physiciens, chimistes, ...
Cependant, le mathématicien ou l'ingénieur qui considèrent un modèle mathématique
décrivant un phénomène physique ne peuvent pas faire l'économie d'une connaissance
détaillée de la démarche de modélisation physique qui a conduit à ce modèle. Savoir comment
et sous quelles hypothèses est obtenu le modèle, connaître le domaine de validité de ces
hypothèses, comprendre les comportements physiques qui sont attendus sur la base de
raisonnements intuitifs ou formalisés : toutes ces connaissances sont très utiles, voire
indispensables, pour aborder l'étude mathématique et la résolution numérique du modèle.
Les étapes suivantes de la modélisation concernent en premier chef le "mathématicien
appliqué". Il faut d'abord construire un cadre théorique pour pouvoir analyser du point de vue
mathématique les modèles issus de l'étape précédente ; on s'intéresse alors à l'existence et à
l'unicité ou la multiplicité des solutions, à leur stabilité et à d'autres propriétés qualitatives de
ces solutions. C'est à cette étape de modélisation mathématique que se rattachent les parties
les plus théoriques de ce cours, qui font notamment appel aux techniques de l’analyse.
Mais l'objet de la modélisation n'est pas seulement de donner cette compréhension théorique
du comportement des solutions des modèles mathématiques considérés. Ces études
mathématiques servent également à construire les bases de la résolution numérique de ces
modèles. Nous verrons que la modélisation débouche alors sur la construction et l'analyse de
méthodes et d'algorithmes pratiques, qui permettent de réaliser sur ordinateur des simulations
numériques des phénomènes étudiés, ou d'implémenter sur ordinateur des procédures de
contrôle (de contrôle "en temps réel" en particulier).