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des axes principaux : la recherche des composantes principales consiste à déterminer ce qu’on
pourrait considérer comme les longueurs ou variance (valeurs propres) et les directions (vecteurs
propres) des axes principaux. Pour 3 variables les 3 axes principaux de l’ellipsoïde (qui peut être
schématisé par un ballon de rugby ou un poisson) sont perpendiculaires et représentent les 3
composantes, qui sont indépendantes. Il est clair que la première composante explique la plus
grande partie du système, la variance expliquée par les 2 autres composantes sera moindre. Pour
plus de 3 variables on parle d’hyperplan. On définit ainsi deux espaces : celui des individus et celui
des caractères. Chaque individu ayant p coordonnées, est considéré comme un vecteur d’un espace
à p dimensions. Chaque variable sera une liste de n valeurs numériques.
La recherche des axes d’inertie du nuage se ramène à la diagonalisation de la matrice de
corrélation.
Lorsqu'on effectue un changement d'axes en gardant la même origine (rotation) les nouvelles
coordonnées sont données en fonction des anciennes et des composantes des vecteurs unitaires
portés sur les nouveaux axes par des relations linéaires. Les contributions des nouvelles variables
sont les valeurs propres et leur somme est toujours égale au nombre de variables.
Les axes d’inertie du nuage sont obtenus par diagonalisation de la matrice de corrélation, technique
qui élimine tous les éléments de covariance en gardant seulement la variance. La diagonalisation ou
recherche des axes de symétrie de l'ellipsoïde d'inertie et des n valeurs propres correspondantes est
une étape qui fait appel à l’algèbre linéaire et au calcul matriciel.
On part de la matrice complète des données ou tableau individus / caractères et on applique la
technique de transposition, qui consiste à échanger les lignes par les colonnes. On effectue ensuite
le produit de la matrice par sa transposée ; on obtiendra une matrice carrée symétrique d'ordre p. Si
on utilise des variables centrées-réduites, cette matrice est la matrice de corrélation qui ne tient
compte que de la direction des vecteurs. Une telle matrice est composée des valeurs des cosinus des
angles qui deux à deux font un ensemble de n vecteur-observations issus de l'origine.
Les valeurs propres λ1, λ 2,… λn d’une matrice V sont les inerties expliquées par les axes du
nuage ; leur somme est égale d’une part à la trace de V et d’autre part à l’inertie totale du nuage.
On appelle valeurs propres (eigenvalues, mot anglais d’origine allemande) d’une matrice carrée A
de dimension p * p, les solutions λi de l’équation (I symbolisant la matrice unité):
⏐A - λI⏐ = 0
avec ⏐ A - λI⏐ déterminant de la matrice A
⏐R - λI⏐ = 0
⏐R - λI⏐ déterminant de la matrice de corrélation R
Dans une fonction matricielle les dérivés qui sont annulées permettent de calculer le maximum ou
le minimum de la variance. Le développement du déterminant ⏐A - λI ⏐ amène à une équation de
degré P ;
⏐A - λ I ⏐= (- l ) p + C p – 1( - l ) p-1+ … C1 ( - l ) + Co = 0
des axes principaux : la recherche des composantes principales consiste à déterminer ce qu’on
pourrait considérer comme les longueurs ou variance (valeurs propres) et les directions (vecteurs
propres) des axes principaux. Pour 3 variables les 3 axes principaux de l’ellipsoïde (qui peut être
schématisé par un ballon de rugby ou un poisson) sont perpendiculaires et représentent les 3
composantes, qui sont indépendantes. Il est clair que la première composante explique la plus
grande partie du système, la variance expliquée par les 2 autres composantes sera moindre. Pour
plus de 3 variables on parle d’hyperplan. On définit ainsi deux espaces : celui des individus et celui
des caractères. Chaque individu ayant p coordonnées, est considéré comme un vecteur d’un espace
à p dimensions. Chaque variable sera une liste de n valeurs numériques.
La recherche des axes d’inertie du nuage se ramène à la diagonalisation de la matrice de
corrélation.
Lorsqu'on effectue un changement d'axes en gardant la même origine (rotation) les nouvelles
coordonnées sont données en fonction des anciennes et des composantes des vecteurs unitaires
portés sur les nouveaux axes par des relations linéaires. Les contributions des nouvelles variables
sont les valeurs propres et leur somme est toujours égale au nombre de variables.
Les axes d’inertie du nuage sont obtenus par diagonalisation de la matrice de corrélation, technique
qui élimine tous les éléments de covariance en gardant seulement la variance. La diagonalisation ou
recherche des axes de symétrie de l'ellipsoïde d'inertie et des n valeurs propres correspondantes est
une étape qui fait appel à l’algèbre linéaire et au calcul matriciel.
On part de la matrice complète des données ou tableau individus / caractères et on applique la
technique de transposition, qui consiste à échanger les lignes par les colonnes. On effectue ensuite
le produit de la matrice par sa transposée ; on obtiendra une matrice carrée symétrique d'ordre p. Si
on utilise des variables centrées-réduites, cette matrice est la matrice de corrélation qui ne tient
compte que de la direction des vecteurs. Une telle matrice est composée des valeurs des cosinus des
angles qui deux à deux font un ensemble de n vecteur-observations issus de l'origine.
Les valeurs propres λ1, λ 2,… λn d’une matrice V sont les inerties expliquées par les axes du
nuage ; leur somme est égale d’une part à la trace de V et d’autre part à l’inertie totale du nuage.
On appelle valeurs propres (eigenvalues, mot anglais d’origine allemande) d’une matrice carrée A
de dimension p * p, les solutions λi de l’équation (I symbolisant la matrice unité):
⏐A - λI⏐ = 0
avec ⏐ A - λI⏐ déterminant de la matrice A
⏐R - λI⏐ = 0
⏐R - λI⏐ déterminant de la matrice de corrélation R
Dans une fonction matricielle les dérivés qui sont annulées permettent de calculer le maximum ou
le minimum de la variance. Le développement du déterminant ⏐A - λI ⏐ amène à une équation de
degré P ;
⏐A - λ I ⏐= (- l ) p + C p – 1( - l ) p-1+ … C1 ( - l ) + Co = 0